|
ДокладыО взаимосвязи взвешивающих распределений узлов на квадратных решётках с оценками мощности перколяционных кластеровРоссия, 394087, г. Воронеж, ул. Мичурина, 1, +7(473)224-39-39(+3317), moskalefff@gmail.com Важное значение для прикладного математического моделирования имеют задачи статистической оценки порога протекания $p_c$ и мощности перколяционных кластеров $P_\infty$. На квадратных решётках конечного размера оба параметра оцениваются с помощью выборки кластеров, стягивающих решётку в выбранном направлении [1, 2]. В первом случае используется относительная частота возникновения стягивающих кластеров в общей выборке, а во втором – усреднённая относительная частота узлов расположенных вдоль целевой границы решётки. Полагая порог протекания $p_c$ известным, автором [1, 2] была предложена зависимость мощности кластеров $P_\infty$ от сверхкритических значений доли достижимых узлов перколяционной решётки $p\in (p_c, 1)$ в виде $P_\infty(p) = (1-p_c)^{p_c-1}(p-p_c)^{1-p_c}$. Было показано, что для $p\to 1-$ предел отношения $P_\infty(p)/p$ равен единице, однако вопрос о взаимосвязи образующих отношение функций оставлен открытым. Вместе с тем, на основе определения мощности перколяционного кластера $P_\infty(p)$, разумно предположить, что усреднённые относительные частоты узлов при $p\to 1-$ будут сходиться к функции распределения $F_b(p)$ случайной величины $b\in (0, 1)$, взвешивающей узлы перколяционной решётки. Действительно, соответствующая равномерно распределенной случайной величине $b \sim \mathbb{U}(0, 1)$ функция имеет вид $F_b(p) = p$, а в более общих случаях будем ожидать, что пределом мощности кластера $P_\infty(p)$ при $p\to 1-$ окажется функция $F_b(p)$. Для оценки адекватности выдвинутого предположения был проведён вычислительный эксперимент по выборке из 1000 реализаций стягивающих кластеров на квадратных решётках размером $33^2$ узлов с $(1, 0)$-окрестностью, взвешенных бета-распределёнными случайными величинами $b \sim \mathbb{B}(s_1, s_2)$ с параметрами $(s_1, s_2) = (1, 3)$, $(1, 2)$, $(1, 1)$, $(2, 1)$, $(3, 1)$. В ходе эксперимента показано, что среднее абсолютное отклонение ненулевых оценок мощности $P_\infty^*(p) > 0$ для верхней квартили значений аргумента $p\in (p_{3/4}, p_1)$ не превышает статистической погрешности этих оценок $\langle|P_\infty^*(p)-F_b(p)|\rangle\leqslant \varepsilon(P_\infty^*)$. Литература 1. Москалев П.В. Оценки порога и мощности перколяционных кластеров на квадратных решётках с (1, $\pi$)-окрестностью // Компьютерные исследования и моделирование. – 2013. – T.6, №3. – С.405-414. 2. Москалев П.В. Перколяционное моделирование пористых структур. – М.: URSS, 2018. – 240 с.
|
