Русский
!

Presentations

On Green's function of the Dirichlet problem for biharmonic equation in a ball

Karachik V.V.

South Ural State University

В работе рассмотрено разложение функции Грина задачи Дирихле для бигармонического уравнения в единичном шаре $S$ в ряд по бигармоническим полиномам. Ранее, в работе [1] найден оператор Грина задачи Дирихле для бигармонического и полигармонического уравнения в единичном шаре при полиномиальных данных, в [2] найдено представление функции Грина третьей краевой задачи для уравнения Пуассона в единичном шаре. Рассмотрим в $S$ однородную задачу Дирихле для бигармонического уравнения $${{\Delta }^{2}}u(x)=f(x),\ x\in S;\quad u{{|}_{\partial S}}=0,\quad \frac{\partial u}{\partial \nu }{{|}_{\partial S}}=0,$$ где $\nu$ -- единичная внешняя нормаль к сфере $\partial S$. Пусть $\{H_{k}^{(i)}(x):i=1,\ldots ,{{h}_{k}},k\in {{\mathbb{N}}_{0}}\}$ -- полная система однородных степени $k$ ортогональных сферических гармоник (см., например, [3]), нормированных так, что $\int_{\partial S}(H_{k}^{(i)}(\xi))^2\,ds_\xi=\omega_n$, где $h_k$ -- размерность базиса однородных гармонических многочленов степени $k$, а $\omega_n$ площадь $\partial S$.

Теорема. Функция Грина задачи Дирихле может быть записана в виде

$${{G}_{4}}(x,\xi )=\frac{1}{2}\sum\limits_{k=0}^{\infty }{(}\frac{|x{{|}^{-(2k+n-2)}}}{2k+n-2}\left( \frac{|x{{|}^{2}}}{2k+n-4}-\frac{|\xi {{|}^{2}}}{2k+n} \right)-\frac{1}{2k+n-2}\times $$

$$\times \left( \frac{1}{2k+n-4}-\frac{|x{{|}^{2}}|\xi {{|}^{2}}}{2k+n}+\frac{|x{{|}^{2}}-1}{2}\left( |\xi {{|}^{2}}-1 \right) \right))\sum\limits_{i=1}^{{{h}_{k}}}{H_{k}^{(i)}}(x)H_{k}^{(i)}(\xi ).$$

Литература

1. Карачик В.В. Антропова Н.А. О полиномиальных решениях задачи Дирихле для бигармонического уравнения в шаре // Сибирский журнал индустриальной математики, том 15, номер 2 (50), год 2012. Стр. 86-98.

2. Карачик В.В. Турметов Б.Х. O функции Грина третьей краевой задачи для уравнения Пуассона // Математические труды, том 21, номер 1, 2018. Стр. 17-34.

3. Karachik V.V. On some special polynomials // Proceedings of the American Mathematical Society, V. 132, no. 4. 2004. P. 1049-1058.

© 2004 Designed by Lyceum of Informational Technologies №1533