Русский
!

Presentations

On a solution method for pressure - velocity coupling problem in Navier-Stokes equations

Evstigneev N.M.

Federal research center ''Informatics and Control'', lab.11-3 ''Chaotic Dynamical Systems'', senior scientist, 117312, Moscow, prostp. 60-let Oktyabrya, 9. 8(495)998-7683, evstigneevnm@yandex.ru

Рассматривается система уравнений Навье-Стокса:

$\partial_t \mathbf{u}+\left( \mathbf{u}\cdot{\nabla} \right)\mathbf{u}=-\nabla p+\nu \Delta \mathbf{u}, \nabla \cdot \mathbf{u}=0, \mathbf{u}|_{\partial \Omega}=\mathbf{0}, \int_{\Omega} p=0$,

в области $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ с краем $\partial \Omega$, единичными нормальным $\mathbf{n}$ и тангенциальным $\mathbf{\tau}$ векторами к $\partial \Omega$.

Для нахождения давления в работе \cite{Oseledets89} предложен метод введения фиктивных переменных $\mathbf{a}, \varphi| \mathbf{u}=\mathbf{a}+\Delta \varphi$. Если $\varphi$ такое, что $\partial_t \varphi - \nu \Delta \varphi=-p$, то:

$\partial_t \mathbf{a}+\left( \mathbf{u}\cdot{\nabla} \right)\mathbf{a}=\nu \Delta \mathbf{a}, \nabla \cdot \mathbf{a}=-\Delta \varphi, (\mathbf{a},\mathbf{n})=0, \partial_{\mathbf{n}} \varphi=0, (\mathbf{a},\mathbf{\tau})=-\partial_{\tau} \varphi.$

Проблема заключается в краевых условиях, которое не определено на угловых точках $\Omega$ и вносит значительную погрешность. \par

Предлагается ввести слои по времени $()^n$, шаг по времени $\delta t$ и замены $\mathbf{b}^{n+1}=\mathbf{a}^{n+1}+\Delta \varphi^n$, $q^{n+1}=\Delta \varphi^{n+1}, r^{n+1}=\varphi^{n+1}-\varphi^{n}$. Тогда имеем следующую схему расщепления:

$1. (\delta t)^{-1}(\mathbf{b}-\mathbf{u}^n)+ (\mathbf{u}^n,\nabla)\mathbf{b}-\nu \Delta \mathbf{b} + \nabla q^{n}=\mathbf{0}$,\\

$2. \Delta r^{n+1}=\nabla \cdot \mathbf{b}$,\\

$3. q^{n+1}=q^{n}-\nabla \cdot \mathbf{b}$,\\

$4. \mathbf{u}^{n+1}=\mathbf{b}+\nabla r^{n+1}$,

где для увеличения точности можно выполнить итерации по шагам 2,3,4. Введенные замены имеют тривиальные граничные условия $\mathbf{b}|_{\partial \Omega}=\mathbf{0}$, $\partial_{\mathbf{n}} q=0$. Доказывается сходимость итераций, устойчивость и порядок аппроксимации для различных вариантов метода Галеркина на сплайнах и МКЭ.

\begin{thebibliography}{100}

\bibitem{Oseledets89}

В.И. Оселедец. О Новой Форме Записи Уравнения Навье - Стокса. Гамильтонов Формализм.//УМН, том 44, выпуск 3(267), 169–170, 1989.

\end{thebibliography}

© 2004 Designed by Lyceum of Informational Technologies №1533