E2: Интегрирование уравнений в частных производных типа реакция-диффузия при помощи python/numpy

27 января, среда, 10⁰⁰

Ведущий: к.ф.-м.н. А.М. Нестеренко (НИИФХБ им. А.Н. Белозерского МГУ)

Аннотация

Уравнения типа реакция-диффузия относятся к классу краевых задач и для их интегрирования используются нетривиальные алгоритмы. Алгоритмы интегрирования систем дифференциальных уравнений в частных производных хорошо разработаны и изложены в различных статьях и монографиях по вычислительной математике. В настоящем практическом занятии мы последовательно реализуем несколько вариантов метода конечных разностей различной сложности. Все алгоритмы мы будем реализовывать исключительно в матричной форме, поэтому одновременно участники смогут научиться работать с инструментарием линейной алгебры, предоставляемым пакетами numpy/scipy.

Мы начнем с определения шаблона дискретизации одно- и двухмерного лапласианов, научимся применять дискретный фильтр Лапласа к изображениям и визуализировать результаты. Затем мы реализуем чисто-диффузионную явную схему с использованием дискретного шаблона лапласиана. И, наконец, мы реализуем неявную одно- и двухмерную схему для интегрирования реакционно-диффузионной системы с использованием функционала линейной алгебры.

Программа

• Теоретическая лекция о различных вариантах решения УрЧП методом конечных разностей: от явной схемы до метода переменных направлений (30 мин)
• Python для расчетов линейной алгебры, работа с матрицами, работа с разреженными матрицами (30 мин)
• Дискретизация лапласиана: применение для Гауссова размытия (30 мин)
• Интегрирование системы реакционно-диффузионных (РД) уравнений в явной схеме с дискретным лапласианом (30 мин)
• Реализация неявной схемы и ее применение (30 мин)

 Требования

Необходимо знание Python или посещение мастер-класса по базовому Python (E1). При себе необходимо иметь ноутбук с *nix-подобной ОС. Установка python — см. в комментариях к мастерклассу E1. Обязательно иметь установленный набор библиотек scipy.

Для пользователей с Windows: использование Windows не рекомендовано, но и не запрещено. В инструкциях к мастерклассу E1 вы найдете, как установить весь тулчейн для работы с Python на Windows.