Русский

Conference publications

Abstracts

XVII conference

Влияние бонусов на оптимальные стратегии страховой компании в условиях неопределенности

Журов А.Н., Шаповал А.Б.1

Финансовая Академия при правительстве РФ,Кафедра Прикладной Математики, Россия, 125993, г.Москва, Ленинградский проспект, 49,Тел.:+7(499)9439855, E-mail: juro_87@mail.ru

1Международный институт теории прогноза землетрясений РАН, Россия, г.Москва,Профсоюзная ул. 84/32,

1 pp. (accepted)

В работе построены оптимальные стратегии страховой компании в условиях неопределенности. Предполагается, что компания занимается тремя видами деятельности:

(1) страхованием, т.е. сбором премий и выплатой убытков по страховым случаям;

(2) инвестированием капитала в безрисковый и рисковый активы;

(3) потреблением, т.е. выплатой заработных плат, бонусов, и любых других расходов, не являющимися выплатами по страховым случаям.

Капитал страховой компании увеличивается за счет сбора премий которые предполагаются независимыми от момента времени и положительной доходности на финансовом рынке; уменьшается при наступлении страховых случаев и отрицательной доходности финансового рынка. Суммарные убытки за отрезок времени от страховых случаев моделируются сложным пуассоновским процессом.

Пусть цена безрискового актива изменяется с постоянной доходностью, а цена рискового актив удовлетворяет геометрическому броуновскому движению:

(1)

(2),

где , , а Винеровский процесс.

Пусть - это доля капитала, инвестируемого в рисковый актив, управляющий параметр. Тогда капитал удовлетворяет уравнению:

(3)

Согласно [Yang, 2005], оптимальные стратегии весьма чувствительны к выбору целевого функционала. Предполагая конкретный вид функции полезности, в [Merton, 1969], [Samuelson, 1969] найдена оптимальная доля капитала, инвестируемого в рисковый актив. В статье [Moore, 2006] изложены многие полученные результаты для задачи наиболее общего типа- оптимальное инвестирование, потребление и деление риска (перестрахование) страховой компании в стохастических условиях при степенной, экспоненциальной и логарифмической функциях полезности. В ряде работ изучено, как влияет потребление фирмы на ее инвестиционные стратегии, (обзор методов приведен в статье [Sennewald ,2006]).

В докладе рассматривается задача, в которой компания выплачивает средства по страховым событиям, инвестирует капитал в рисковый и безрисковый активы и расходует часть своего капитала на потребление. Управляющими переменными являются - доля капитала, направляемая в рисковые активы и - величина потребления. Горизонт планирования – неслучайная заданная величина

Цель компании – оптимизировать ожидаемые капитал и потребление в соответствии с функцией полезности капитал или потребление.

Пусть выражение

(4)

где -дисконтирующая процентная ставка, определяет максимально достижимый ожидаемый уровень полезности капитала и потребления для компании при условии, что в начальный момент времени капитал

Предполагается, что функции полезности удовлетворяют естественным условиям , отражающим соответственно увеличение удовлетворения инвестора при увеличении блага и убывание предельной полезности – первый закон Госсена. В простейшем случае функция полезности

(5),

является степенной, а при логарифмической.

Оптимальная стратегия страховой компании (другими словами, пара максимизирует функционал (4) при ограничении (3)

В этой работе будем предполагать, что мгновенное изменение капитала, связанное со случайными выплатами, не влияет на размер мгновенного оптимального потребления, т.е.:

.(6)

Основным результатом данной работы является следующая теорема:

Теорема 1. Пусть выполнены перечисленные выше условия (1)-(6). Тогда динамика оптимального потребления задается формулой:

Если предположить, что функция Беллмана ищется в виде: оптимальная инвестиционная стратегия задается выражением:

Следствие. Если , то оптимальное потребление в среднем возрастает, а если , то оптимальное потребление в среднем убывает.

В работе сравниваются две стратегии страховой компании, учитывающие и не учитывающие потребление в целевом функционале. Как следствие из теоремы 1, выведено условие, при котором сумма капитала и потребления в задаче с потреблением больше капитала в задаче без потребления. Это условие задается неравенством:

Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы:

1. Чем меньше дисконтирующая процентная ставка , то есть чем пессимистичнее компания оценивает будущее, тем больше должно быть потребление.

2. На рынках с относительно высокой волатильностью, т.е. с большим показателем , расходы на потребление невыгодны. На рынках с относительно малой волатильностью, стимулирование сотрудников с помощью бонусов- эффективное управленческое решение, увеличивающее капитал и потребление компании.

3. Так как неравенство (7) выполняется при относительно малых то стимулировать бонусами своих сотрудников следует компаниям с относительно малым т.е. относительно приемлющих риск.

Список используемой литературы.

1. Yang H., Zhang L. Optimal investment for insurer with jump-diffusion risk process. // Insurance: Mathematics and Economics, 2005. V. 37 P. 615-634.

2. Moore K. S., Young V. R. Optimal insurance in a continious-time model. //Insurance: Mathematics and Economics, 2006, V.39, P.47-68.

3. Samuelson, P. A. Rational theory of warrant pricing. // Industrial Management Review, 1965. V.6, 13.31.

4. R. C. Merton. Lifetime Portfolio Selection under Uncertainy: The Continuos-Time Case.// The review of Economics and Statistics,1969. V.51. P. 247-257.

5. K. Sennewald, K. Lemma” and the Bellman Equation for Poisson Processes: An Applied View. //Journal of Economics, March 2006. Springer-Verlag.



© 2004 Designed by Lyceum of Informational Technologies №1533