Русский

Conference publications

Abstracts

XVI conference

О некоторых множествах особых граничных точек функции в пространстве

Дорофеев М.А.

МГУ им. М.В. Ломоносова, механико-математический ф-т, кафедра мат. анализа, Россия, 119415, Москва, пр-т Вернадского, д. 49, кв. 71, телефон: (495) 4316739, E-mail: s_p_n_1974@bk.ru

1 pp. (accepted)

Пусть R^3_+ – верхнее полупространство, ∂R^3_+ – его граница, а P – топологическое локально компактное хаусдорфово пространство со счетной базой и f : R^3_+ → P – произвольная функция.

Точку x из ∂R^3_+ назовем точкой пористости множества E из ∂R^3_+ , если существует такое θ из (0,1) и такая последовательность {r_k}, r_k > 0, lim r_k = 0, k→∞, что в каждом круге B(x, r_k) с центром в точке x и радиусом r_k, можно выбрать круг радиуса, не меньше величины θr_k, который не содержит точек из E. Множество, состоящее из своих точек пористости, называется пористым множеством. Объединение не более чем счетного числа пористых множеств называется σ-пористым множеством. Обозначим множество всех неизолированных точек пористости множества E через p(E). Множество E называется совершенным σ-пористым, если E = U F_k , где F_k – замкнутое множество.

Пусть d(a,b) – расстояние между двумя точками a,b из R^3_+ . Для каждой точки ζ из ∂R^3_+ рассмотрим следующие множества

U(ζ, c) = {x Є R^3_+, x = (x_1, x_2, x_3), x' = (x_1, x_2, 0) |

d(ζ, x') ≤ c(1-(x_3-1)^2)^(1/2)},

V(ζ, a, b) = {x Є R^3_+, x = (x_1, x_2, x_3), x' = (x_1, x_2, 0)} |

a(1-(x_3-1)^2)^(1/2)}≤ d(ζ, x') ≤ b(1-(x_3-1)^2)^(1/2)}.

Предельным множеством функции f : R^3_+→ P в точке ζ относительно множества U из R^3_+ называется множество

C(f, ζ ,U) = {y Є P | {z_k}, k=1, 2,..., z_k Є U, z_k→ζ, k→∞, f(z_k)→y, k→∞}.

Множеством особых граничных точек функции f : ∂R^3_+ → P называется множество

E(f) = U {ζ Є∂R^3_+ | C(f, ζ, U(ζ, c))\C(f, ζ, V(ζ, a, b)) ≠ 0 }, a,b,c из Q.

Теорема 1. Для произвольной функции f : R^3_+ → P множество E(f) является совершенным σ-пористым.

Теорема 2. Пусть E – совершенное σ-пористое множество. Тогда существует неотрицательная, ограниченная и непрерывная в R^3_+ функция f : R^3_+ → P, для которой E(f)=E.



© 2004 Designed by Lyceum of Informational Technologies №1533